4.3 Příklad
Zkouška insulinu na myších podkožním podáním
Standardní přípravek byl podáván v dávkách 0,024 a 0,04 jednotek na myš v dávce o objemu 0,25ml. Odpovídající dávka přípravku U byla připravena na základě deklarované účinnosti A_U = 40 jednotek na ml. Každá dávka byla podána dvaceti čtyřem jedincům.
Kladná odpověď byla definována jako hypoglykemická křeč v průběhu 75 minut po podkožním podání insulinu.
V tabulce 4.3-I je počet (r) jedinců každé skupiny reagujících kladně, společně s podílem odpovědí p a odpovídajícím probitem z tabulky 4.2-II.
Tab. 4.3-I Odpovědi a empirické probity

Přípravek	Dávka	ln (dávky) = x	n	r	p = r/n	empirický probit, y
standard S	s2	3,689	24	21	0,88	6,18
	s1	3,178	24	8	0,33	4,56
přípravek U	u1	3,689	24	20	0,83	5,95
	u2	3,178	24	10	0,42	4,80
celkem		13,734				21,49

První aproximace probitů
První aproximace může být získána jedním z dvou následujících způsobů:
V příkladu se postupuje druhou metodou, jejíž použití je pro počítače vhodnější a navíc poskytuje při opakovaném výpočtu stejné výsledky. V použitém příkladu je obtížné odhadnout rovnoběžné přímky od oka, protože spojnice bodů pro standard a bodů pro zkoušený přípravek se protínají.

Algoritmus 4.2-III Vývojový diagram testů validity v rutinní kvantální zkoušce
Vývojový diagram zobrazuje logické kroky při hodnocení výsledků kvantální zkoušky.
Je-li na základě tohoto diagramu vytvořen program, musí výsledné rozhodnutí (přijmout, zamítnout nebo modifikovat zkoušku) provést experimentátor na základě detailních výsledků poskytnutých počítačem.
Společný sklon rovnoběžných regresních přímek se vypočte podle vzorce:
$b=\frac{\mathrm{\Sigma xy}-\frac{\mathrm{\Sigma x\Sigma y}}{k}}{{\mathrm{\Sigma x}}^2-\frac{{\mathrm{\Sigma x}}^2}{k}},$
kde k je počet všech ošetřených skupin, sčítá se přes všechny skupiny,
x = ln (dávky)
y = empirický probit (tabulka 4.3-I)
${\mathrm{\Sigma x}}^2=\text{47,4168};\mathrm{\Sigma xy}=\text{74,4937};b=\text{2,71124}.$
Parametry a obou přímek udává rovnice:
$a_i={\overline{y}}_i-b\overline{x},\text{kde}\overline{x}=\text{3,4334},{\overline{y}}_{{}_S}=\text{5,370 a}{\overline{y}}_{{}_U}=\text{5,375}$
Rovnice regresních přímek jsou Y = a + bx (viz obr. 4.3-I).
Přímka standardu je Y = -3,936 + 2,711x a přímka přípravku U Y = -3,931 + 2,711x.
Očekávané probity YI se získají dosazením hodnot 3,689 a 3,178 za x do odpovídajících rovnic. Tyto hodnoty jsou uvedeny v tabulce 4.3.-II společně s vahami w, minimálním pracovním probitém Y0 a rozsahem A interpolovaným podle tabulky 4.2-III. Pracovní probity y se vypočtou podle rovnice:
$y=Y_0+\mathrm{pA}.$
Tab. 4.3-II Očekávané probity

Přípravek	x	p	YI	w	Y0	A	y
standard S	3,689 3,178	0,88 0,33	6,06 4,68	0,418 0,613	2,289 3,691	4,407 2,641	6,167 4,563
přípravek U	3,689 3,178	0,83 0,42	6,07 4,68	0,415 0,613	2,250 3,691	4,453 2,641	5,946 4,800

Pro hodnocení standardního a testovaného přípravku se vypočtají následující statistiky:

$\overline{x}=\frac{\mathrm{\Sigma nwx}}{\mathrm{\Sigma nw}}$	$\overline{y}=\frac{\mathrm{\Sigma nwy}}{\mathrm{\Sigma nw}},$
$S_{\mathrm{xx}}={\mathrm{\Sigma nwx}}^2-\frac{{\mathrm{\Sigma nwx}}^2}{\mathrm{\Sigma nw}}$$S_{\mathrm{xy}}=\mathrm{\Sigma nwy}-\frac{\mathrm{\Sigma nwx}\mathrm{\Sigma nwy}}{\mathrm{\Sigma nw}}.$

Jejich hodnoty jsou v tabulce 4.3-III.
Tab. 4.3-III

Přípravek	Σnw	Σnwx	Σnwy	Σnwxy	Σnwx2	Sxx	Sxy	x̄	ȳ
standard	24,744	83,763	128,998	441,571	285,109	1,5558	4,8890	3,3852	5,1133
přípravek U	24,672	83,497	129,840	442,892	284,128	1,5506	3,4769	3,3843	5,2626
součet	49,416					3,1064	8,3659

Druhá aproximace parametrů dvojice regresních přímek je:
$b=\frac{{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{xy}}}{{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{xx}}}=\text{2,693},$
$a_S={\overline{y}}_{{}_S}-{b\overline{x}}_{{}_S}=\text{-3,903}{a}_U={\overline{y}}_{{}_U}-{b\overline{x}}_{{}_U}=\text{-3,851}.$
Takže přímka standardu je Y = -3,903 + 2,693x
a přímka přípravku U je Y = -3,851 + 2,693x.
Očekávané probity odečtené z těchto přímek jsou tedy 6,03, 4,66, 6,08 a 4,71 pro dávky s₂, s₁, u₂ a u₁.
Maximální rozdíl mezi probity odpovídajících dávek z tabulky 4.3-II je 0,03. Shoda mezi dvěma po sobě následujícími aproximacemi probitu je dostatečná.
Validita zkoušky
Odchylka od rovnoběžnosti se testuje statistikou:
$\Sigma \frac{S_{\mathrm{xy}}^2}{S_{\mathrm{xx}}}-\frac{{{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{xy}}}^2}{{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{xx}}}=\text{15,3633 + 7,7962 - 22,5304 = 0,63,}$
Tento test nevyvrací předpoklad rovnoběžnosti, protože hodnota je menší než kritická hodnota 8,47 pro 2 z tabulky 6.2 pro 1 stupeň volnosti a P = 0,95.
Výpočet účinnosti a meze spolehlivosti
V tabulce 6.1 je t = 1,96 pro nekonečný počet stupňů volnosti a P = 0,95.
Logaritmus relativní účinnosti se vypočte z hodnot v tabulce 4.3-III a společného regresního koeficientu:
$\text{M' =}{\overline{x}}_{{}_S}-{\overline{x}}_{{}_U}+\frac{{\overline{y}}_{{}_U}-{\overline{y}}_{{}_S}}{b}=\text{0,0009}+\frac{\text{0,0493}}{\text{2,693}}=\text{0,01921},$
$M=M\text{'}+\mathrm{lnA}=\text{0,01921}+\ln 40=\text{3,708}.$
Odhad účinnosti je tedy exp(M) = 40,8 jednotek na mililitr:
$C=\frac{b^2{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{xx}}}{b^2{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{xx}}-t^2}=\frac{\text{2,693}.\text{3,1064}}{{\text{2,693}}^2.\text{3,1064}-{\text{1,96}}^2}=\frac{\text{22,5284}}{\text{18,6868}}=\text{1,2056},$
$\frac{t^{2}C}{b^2}\frac{1}{{\Sigma }_S\mathrm{nw}}+\frac{1}{{\Sigma }_U\mathrm{nw}}+\frac{{{\overline{y}}_{{}_S}-{\overline{y}}_{{}_U}}^2}{b^2{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{xx}}-t^2}=\text{0,638525}\frac{1}{\text{24,744}}+\frac{1}{\text{24,672}}+\frac{\text{0,00293}}{\text{18,6868}}=\text{0,051786},$
logaritmy mezí spolehlivosti jsou:
$\text{ln 40}+{\overline{x}}_{{}_S}-{\overline{y}}_{{}_U}+CM-{\overline{x}}_{{}_S}+{\overline{x}}_{{}_U}\pm \sqrt{\text{0,051786}}=\text{3,7120}\pm \text{0,2276}.$
Meze spolehlivosti jsou 32,6 až 51,4 jednotek na mililitr.

Obr. 4.3-I Model rovnoběžné lineární závislosti v modelu 3 + 3dávkové zkoušky s kvantální odpovědí transformovanou na probit
Na základě deklarované účinnosti AU se pokládají logaritmy dávek u1, u2 a u3 testovaného přípravku za stejné jako příslušné logaritmy dávek s1, s2 a s3 standardu.
Jednotlivé dávky tvoří geometrickou řadu, tj.:
$\ln s_2-\ln s_1=\ln s_3-\ln s_2.$
Procenta odpovědí na každou dávku jsou transformována na probity a nanesena (černé body - standard a bílé - testovaný přípravek).
b = společný sklon regresních přímek pro standard a testovaný přípravek.

1. graficky, nakreslením probitů z tabulky 4.3-I proti ln (dávky) do bodového grafu a proložením "podle oka" dvou rovnoběžných přímek (kapitola 4.2, krok 4-5) pro standard a zkoušený přípravek a odečtením hodnot aproximovaných probitů na těchto přímkách;

2. výpočtem těchto přímek metodou nevážené lineární regrese.