4.2 Probitová metoda
Podrobná statistická analýza lineární regresní závislosti transformované odpovědi na logaritmu dávky je velmi pracná. Dá se provést iteračně metodou maximální věrohodnosti. K dispozici jsou však počítačové programy. Tato analýza je popsána v mnohých učebnicích.
Za předpokladu, že je dostatečný počet odpovědí různých od nulových a stoprocentních, a za předpokladu, že není významná odchylka od linearity, dávají dostatečně přesné výsledky často již i prvé dva kroky probitové metody. Následující metoda se týká porovnání jednoho přípravku se standardem. Při porovnání více přípravků se standardem je nutná porada s biometrem. Výpočet se dá provést pomocí tabulek a kalkulačky. Kroky 1 až 5 poskytují první aproximaci, kroky 6 až 9 druhou. Kroky 10 až 11 obsahují test linearity a rovnoběžnosti závislosti probitu na logaritmu dávky pro standard a testovaný přípravek a v kroku 12 je počítán logaritmus účinnosti M’ a jeho meze spolehlivosti.
Stejná posloupnost kroků se dá použít k vytvoření počítačového programu s využitím modifikací popsaných na konci každého z následujících kroků.
Probit je jednoduchá lineární funkce standardní normální veličiny T. Počítačový program se dá sestavit s využitím následujících proměnných:
První algoritmus odhaduje T z hodnot P a druhý umožňuje získat odhady D a P odpovídající hodnotě T. Veličiny T, D a P se odhadují pro každou dávkovou skupinu i (T_i, D_i a P_i).
Postup
Algoritmus 4.2-I
Algoritmus požaduje jako vstup pravděpodobnost P_i a počítá T_i aproximované pomocí:
$T_i=\frac{\sum _{j=0}^{j=2}{a}_j{w}^j}{\sum _{j=0}^{j=3}{b}_j{w}^j}-w,$
kde:
$w=\sqrt{\ln \frac{1}{p^2}}\text{pro 0}<P{T}_i\le T\le 0,5.$

a0 = 2,515517	b0 = 1,0
a1 = 0,802853	b1 = 1,1432788
a2 = 0,010328	b2 = 20,189269
	b3 = 0,001308

Je-li P > 0,5, dosadí se ve vzorci pro w za P hodnota (1 - P) a výsledné T_i se vynásobí -1.
Tento a následující algoritmus jsou převzaty z příručky Abramowitze a Steguna¹⁴).
Algoritmus 4.2-II
Algoritmus požaduje T_i jako vstup a počítá hustotu D a aproximaci P pomocí následujících formulí:
$D=\frac{e-\frac{1}{2}{T}_i^2}{\sqrt{2\pi }}$
$PT\le T_i=1-D\sum _{j=1}^{j=5}{a}_j{w}^j{\text{pro T}}_i\ge 0,$
kde:
$w=\frac{1}{1+\text{0,2316419}{T}_i}.$
a₁ = 0,3193815
a₂ = -0,3565638
a₃ = 1,781478
a₄ = -1,821256
a₅ = 1,330724
Je-li T_i < 0, dosadí se ve vzorci pro w za T_i hodnota -T_i a místo vypočtené hodnoty P, se vezme 1 – P_i.
Tab. 4.2-I Výsledné veličiny

Přípravek	X	n	r	p	Ye	YI	w	nw	y	nwy	nwX	nwXy	YII
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)	(10)	(11)	(12)	(13)	(14)

Tab. 4.2-II Probity odpovídající procentům P

p	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	—	2,67	2,95	3,12	3,25	3,36	3,45	3,52	3,59	3,66
10	3,72	3,77	3,82	3,87	3,92	3,96	4,01	4,05	4,08	4,12
20	4,16	4,19	4,23	4,26	4,29	4,33	4,36	4,39	4,42	4,45
30	4,48	4,50	4,53	4,56	4,59	4,61	4,64	4,67	4,69	4,72
40	4,75	4,77	4,80	4,82	4,85	4,87	4,90	4,92	4,95	4,97
50	5,00	5,03	5,05	5,08	5,10	5,13	5,15	5,18	5,20	5,23
60	5,25	5,28	5,31	5,33	5,36	5,39	5,41	5,44	5,47	5,50
70	5,52	5,55	5,58	5,61	5,64	5,67	5,71	5,74	5,77	5,81
80	5,84	5,88	5,92	5,95	5,99	6,04	6,08	6,13	6,18	6,23
90	6,28	6,34	6,41	6,48	6,55	6,64	6,75	6,88	7,05	7,33
	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
99	7,33	7,37	7,41	7,46	7,51	7,58	7,65	7,75	7,88	8,09

Tab. 4.2-III Minimální a maximální pracovní probity, rozsah a váhové koeficienty

Empirický probit	Minimální pracovní probit	Rozsah	Maximální pracovní probit	Empirický probit	Váhy
Ye	Y0	A	Y1	Ye	w
1,1	0,8579	5034,0	9,1421	8,9	0,00082
1,2	0,9522	3425,0	9,0478	8,8	0,00118
1,3	1,0462	2354,0	8,9538	8,7	0,00167
1,4	1,1400	1634,0	8,8600	8,6	0,00235
1,5	1,2334	1146,0	8,7666	8,5	0,00327
1,6	1,3266	811,5	8,6734	8,4	0,00451
1,7	1,4194	580,5	8,5806	8,3	0,00614
1,8	1,5118	419,4	8,4882	8,2	0,00828
1,9	1,6038	306,1	8,3962	8,1	0,01104
2,0	1,6954	225,6	8,3046	8,0	0,01457
2,1	1,7866	168,00	8,2134	7,9	0,01903
2,2	1,8771	126,34	8,1228	7,8	0,02458
2,3	1,9673	95,96	8,0327	7,7	0,03143
2,4	2,0568	73,62	7,9432	7,6	0,03977
2,5	2,1457	57,05	7,8543	7,5	0,04979
2,6	2,2339	44,654	7,7661	7,4	0,06168
2,7	2,3214	35,302	7,6786	7,3	0,07564
2,8	2,4081	28,189	7,5919	7,2	0,09179
2,9	2,4938	22,736	7,5062	7,1	0,11026
3,0	2,5786	18,522	7,4214	7,0	0,13112
3,1	2,6624	15,2402	7,3376	6,9	0,15436
3,2	2,7449	12,6662	7,2551	6,8	0,17994
3,3	2,8261	10,6327	7,17316	6,7	0,20774
3,4	2,9060	9,0154	7,0940	6,6	0,23753
3,5	2,9842	7,7210	7,0158	6,5	0,26907
3,6	3,0606	6,6788	6,9394	6,4	0,30199
3,7	3,1351	5,8354	6,8649	6,3	0,33589
3,8	3,2074	5,1497	6,7926	6,2	0,37031
3,9	3,2773	4,5903	6,7227	6,1	0,40474
4,0	3,3443	4,1327	6,6557	6,0	0,43863
4,1	3,4083	3,7582	6,5917	5,9	0,47144
4,2	3,4687	3,4519	6,5313	5,8	0,50160
4,3	3,5251	3,2025	6,4749	5,7	0,53159
4,4	3,5770	3,0010	6,4230	5,6	0,55788
4,5	3,6236	2,8404	6,3764	5,5	0,58099
4,6	3,6643	2,7154	6,3357	5,4	0,60052
4,7	3,6982	2,6220	6,3018	5,3	0,61609
4,8	3,7241	2,5573	6,2759	5,2	0,62742
4,9	3,7407	2,5192	6,2593	5,1	0,63431
5,0	3,7467	2,5066	6,2533	5,0	0,63662
5,1	3,7401	2,5192	6,2599	4,9	0,63431
5,2	3,7186	2,5573	6,2814	4,8	0,62742
5,3	3,6798	2,6220	6,3202	4,7	0,61609
5,4	3,6203	2,7154	6,3797	4,6	0,60052
5,5	3,5360	2,8404	6,4640	4,5	0,58099
5,6	3,4220	3,0010	6,5780	4,4	0,55788
5,7	3,2724	3,2025	6,7276	4,3	0,53159
5,8	3,0794	3,4519	6,9206	4,2	0,50260
5,9	2,8335	3,7582	7,1665	4,1	0,47144
6,0	2,5230	4,1327	7,4770	4,0	0,43863
6,1	2,1324	4,5903	7,8676	3,9	0,40474
6,2	1,6429	5,1497	8,3571	3,8	0,37031
6,3	1,0295	5,8354	8,9705	3,7	0,33589
6,4	0,2606	6,6788	9,7394	3,6	0,30199
6,5	-0,7052	7,7210	10,7052	3,5	0,26907

1. standardizovaná normální veličina T;

1. Sestavení tabulek výsledků
Použije se tabulka 4.2-I pro zapsání každé skupiny ošetření do sloupců označených čísly:
Počítačový program může obsahovat převod dávek na jejich logaritmus X.

1. přípravek (standardní nebo testovaný),

2. X je logaritmus dávky (nebo jeho jednoduchý kód),

3. počet testovaných jedinců n při této dávce,

4. počet reagujících jedinců r při této dávce.

2. hustota D odpovídající hodnotě standardizované normální veličiny T, pro T = Ti je D = D_i;

2. Výpočet podílu (procenta) reagujících v dávkové skupině
Výpočet empirického podílu p = r/n a jeho zapsání do sloupce 5. Obvykle stačí dvě desetinná místa. Ošetřené skupiny s p = 0 a p = 1 se vyloučí.

3. pravděpodobnost P, že veličina T má hodnotu nejvýše T_i (T ≤ T_i).

3. Empirické probity
Z tabulky 4.2-II se získají pro každou skupinu ošetření empirické probity Ye odpovídající empirickému podílu p (vyjádřenému v procentech) a zapíší se do sloupce 6.
Pro výpočet empirických probitu se může použít algoritmus 4.2-I k vyjádření odpovědi tvaru Ye = T + 5 (tím se odstraní záporné odpovědi).

4. Nevážená lineární regrese odpovědi na logaritmu dávky
Počáteční odhad tohoto vztahu se může získat buď graficky (viz obr. 4.3-I), nebo početně. Při použití první metody se nejprve sestrojí bodový graf hodnot Ye v závislosti na X a získanými body se zvlášť pro standardní a testovaný přípravek "od oka" proloží rovnoběžné přímky s větším důrazem na body s empirickými probity mezi 4,0 a 6,0 než na body mimo tyto meze.
Druhý způsob spočívá v proložení přímek metodou nevážené lineární regrese. Vypočtou se:
$b=\frac{\mathrm{\Sigma \Sigma }X-\overline{X}{Y}_e-{\overline{Y}}_e}{\mathrm{\Sigma \Sigma }{X-\overline{X}}^2},\text{(4.2-1)}$
(dvojitě jsou označeny součty pro všechny skupiny ošetřené standardním nebo zkoušeným přípravkem dohromady),
$a={\overline{Y}}_e-b\overline{X}.\text{(4.2-2)}$
(Parametr se vypočte zvlášť pro standardní a zkoušený přípravek.)
Počítačový program používá k získání regresních parametrů a a b rovněž tyto vzorce.

5. První aproximace očekávaných probitů
Při použití grafické metody se na přímkách pro obě ošetření na grafu odečtou hodnoty F a zapíší se do sloupce 7.
Při použití početní metody poskytuje počáteční aproximaci Y_i ke každé hodnotě X zvlášť pro standardní a testovaný přípravek rovnice:
$Y_I=a+\mathrm{bX}.\text{(4.2-3)}$
Stejná rovnice se užívá i v počítačovém programu.

6. Váhové koeficienty
Pro každé Y_I se v tabulce 4.2.-III najde hodnota váhového koeficientu w a zapíše se do sloupce (8), součin nw pak do sloupce (9). Všechny hodnoty nw se udávají na stejný počet desetinných míst. Obvykle stačí jedno desetinné místo.
V počítačovém programu se k výpočtu váhových koeficientů použije algoritmus 4.2-II (viz dále): k vstupním hodnotám které odpovídají hodnotám Y_i, se vypočtou hodnoty P_i a D_i. Z nich se vypočtou váhy w_i pro každou hodnotu Y_i podle vzorce:
$w_i=\frac{D_i^2}{P_{i}1-P_i}.\text{(4.2-4)}$

7. Pracovní probity
Pomocí tabulky 4.2.-III a následujících vzorců se vypočtou pracovní probity yi pro všechny skupiny i:
$y_i=Y_0+{\text{PA proY}}_I<\text{3,5},\text{(4.2-5)}$
$y_i=Y_1-1-P{\text{A pro Y}}_I>\text{6,5},\text{(4.2-6)}$
$y_i=1-P{Y}_0+{\mathrm{PY}}_1\text{pro 3,5}<Y_I<\text{6,5}.\text{(4.2-7)}$
Y₀, Y₁ a A značí minimální probit, maximální probit a rozsah, P je pravděpodobnost příslušná k první aproximaci empirického probitu Y_I Pracovní probity, se zapíše do sloupce (10) v tabulce 4.2-I. Obvykle stačí dvě desetinná místa. Jejich počet by měl být stejný pro všechny ošetřené skupiny.
Pro počítačový program jsou vhodné následující dva vzorce pro pracovní probity y_i odpovídající hodnotám Y_I:
$\text{pro}{Y}_I\le \text{5,0}{y}_i=Y_I-\frac{P_i}{D_i}+\frac{p_i}{D_i},\text{(4.2-8)}$
$\text{pro}{Y}_I>\text{5,0}{y}_i=Y_I+\frac{1-P_i}{D_i}-\frac{1-p_i}{D_i}.\text{(4.2-9)}$
Hodnota D_i odpovídá empirickému podílu pi (jakožto pravděpodobnosti).

8. Vážené průměry, součty čtverců a součty součinů
Pro všechna ošetření se vytvoří součiny nwy, nwX a nwXy a zapíší se do sloupců (11), (12) a (13). Zvlášť pro standard a přípravek se vypočtou součty sloupců (9), (11) a (12) a z nich vážené průměry:
$\overline{X}=\frac{\mathrm{\Sigma nwX}}{\mathrm{\Sigma nw}},\text{(4.2-10)}$
$\overline{y}=\frac{\mathrm{\Sigma nwy}}{\mathrm{\Sigma nw}}.\text{(4.2-11)}$
Dále se vypočtou součiny nwX², nwy² a nwXy, z nich vážené součty čtverců ²X a²y a součty součinů Xy, opět zvlášť pro standard a testovaný přípravek. S jejich pomocí se vypočtou veličiny S_xx, S_Xy a S_yy podle těchto vzorců:
$S_{\mathrm{XX}}=\mathrm{\Sigma nw}{X-\overline{X}}^2={\mathrm{\Sigma nwX}}^2-\frac{{\mathrm{\Sigma nwX}}^2}{\mathrm{\Sigma nw}},\text{(4.2-12)}$
$S_{\mathrm{Xy}}=\mathrm{\Sigma nw}X-\overline{X}y-\overline{y}=\mathrm{\Sigma nwXy}-\frac{\mathrm{\Sigma nwX}\mathrm{\Sigma nwy}}{\mathrm{\Sigma nw}},\text{(4.2-13)}$
$S_{\mathrm{yy}}=\mathrm{\Sigma nw}{y-\overline{y}}^2={\mathrm{\Sigma nwy}}^2-\frac{{\mathrm{\Sigma nwy}}^2}{\mathrm{\Sigma mw}}.\text{(4.2-14)}$
Stejné vzorce se použijí i v počítačovém programu.

9. Druhá a další aproximace probitu
Pro druhou (lineární) aproximaci probitu se nejprve vypočte společný parametr sklonu b₂ podle vzorce:
$b_2=\frac{{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{Xy}}}{{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{XX}}}.\text{(4.2-15)}$
(Sčítají se hodnoty pro standardní a zkoušený přípravek.)
Tato hodnota se použije k výpočtu parametru a₂ zvlášť pro každý z přípravků:
$a_2=\overline{y}-b_2\overline{X}.\text{(4.2-16)}$
Tak se získá druhá aproximace Y_II pro standard a přípravek odděleně ve tvaru dvou regresních přímek:
$Y_{\mathrm{II}}=a_2+b_{2}X.\text{(4.2-17)}$
Podle těchto rovnic se vypočtou hodnoty Y_II pro všechny skupiny ošetřované oběma přípravky a porovnají se s odpovídajícími hodnotami Y_I. Jsou-li alespoň některé rozdíly mezi nimi velké, např. větší než 0,1 při počítání na jedno desetinné místo, vypočte se další aproximace zopakováním kroků 6 až 9, přičemž se všechny hodnoty Y_I nahradí příslušnými hodnotami Y_II. Stejně se postupuje i tehdy, jeví-li uvedené rozdíly závislost na dávce.
V počítačovém programu se vypočtou pro všechny ošetřené skupiny čtverce rozdílů YII - YI a jejich součet. Je-li tento součet čtverců větší než například 10-7, nahradí se všechny hodnoty YI příslušnými hodnotami YII a opakují se kroky 6 až 9.

10. Test odchylky od linearity
Ve zkoušce alespoň se třemi dávkami pro každý přípravek se dá testovat významnost odchylky od linearity pomocí statistiky:
${\chi }^2={\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{yy}}-\Sigma \frac{S_{\mathrm{Xy}}^2}{S_{\mathrm{XX}}},\text{(4.2-18)}$
s f = (k - 4) stupni volnosti. Odpovídající kritické hodnoty jsou v tabulce 6.2. Při významné hodnotě χ² je nutno konzultovat vyhodnocení zkoušky se statistikem. Počítačový program může poskytnout obsluze vypočtený χ² a příslušné stupně volnosti bez dalšího komentáře. Jiná možnost je vytvořit soubor kritických hodnot z podprogramu, který vypočte aproximaci pravděpodobnosti překročení hodnoty χ2 Vhodné vzorce k těmto výpočtům jsou v knize Abramowitz a Stegun¹³).

11. Test odchylky od rovnoběžnosti
Pokud se neprokázala významná odchylka od linearity, pak se testuje ještě rovnoběžnost pomocí statistiky:
${\chi }^2=\Sigma \frac{S_{\mathrm{Xy}}^2}{S_{\mathrm{XX}}}-\frac{{{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{Xy}}}^2}{{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{XX}}}\text{(4.2-19)}$
s jedním stupněm volnosti.

12. Výpočet účinnosti a jejích mezí spolehlivosti
Při nevýznamné odchylce od rovnoběžnosti je možno počítat logaritmus účinnosti M´podle vzorce:
$M\text{'}=\frac{y_U-y_S}{b}+X_S-X_U.\text{(4.2-20)}$
Účinnost je pak antilogaritmus M´ (exp(M´)). Meze spolehlivosti se vypočtou jako antilogaritmy hodnot:
$X_S-X_U+CM\text{'}-X_S+X_U\pm \frac{t\sqrt{C}}{b}\sqrt{\frac{1}{{\Sigma }_S\mathrm{nw}}+\frac{1}{{\Sigma }_U\mathrm{nw}}+\frac{{y_S-y_U}^{2}C}{b^2{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{XX}}}},\text{(4.2-21)}$
kde
$C=\frac{b^2{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{XX}}}{b^2{\mathrm{\Sigma S}}_{\mathrm{XX}}-t^2}.\text{(4.2-22)}$
Je patrná analogie těchto výrazů s výrazem 3.2.5-4 pro výpočet mezí spolehlivosti ve zkouškách účinnosti s kvantitativní odpovědí. Součet čtverců pro regresi v kapitole 3.2.3 se dá psát ve tvaru:
$E=\frac{{\Sigma X-Xy-y}^2}{\Sigma {X-X}^2}=b^2\Sigma {X-X}^2.\text{(4.2-23)}$
Při probitové transformaci je reziduální rozptyl odpovědí roven jedné. Kritická hodnota t s ∞ stupni volnosti se najde v tabulce 6.1.
Pro nekonečný počet stupňů volnosti má veličina t standardní normální rozdělení, takže počítačový program může počítat požadovanou hodnotu t algoritmem 4.2-I s pravděpodobností P odpovídající polovině požadované hladiny významnosti.